Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b为实数），（1）若f（x）满足不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），且

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b为实数），（1）若f（x）满足不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），且方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；（2）若c=1，f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立；当x∈[-3，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）
即ax²+（b+2）x+c＞0的解集为（1，3）
∴

a＞0 a+b+2+c＝0 9a+3(b+2)+c＝0

?

a＞0 b＝?4a?2 c＝3a

          (1)，
∵方程f（x）+6a=0有两个相等的实根
即ax²+bx+c+6a=0有两个相等的实根△=b²-4a（c+6a）=0（2），
将（1）代（2）解得a＝?

1

5

 ，a＝1（舍），
∴b＝?

6

5

c＝?

3

5

∴f(x)＝?

1

5

x2?

6

5

x?

3

5

．
（2）f（x）=ax²+bx+1∵f（-1）=0∴a-b+1=0（3）
∵对任意实数x均有f（x）≥0成立∴△=b²-4a≤0将（3）代入得（a-1）²≤0
∴a=1b=2∴f（x）=x²+2x+1
∵g（x）=x²+（2-k）x+1在[-3，3]单调
∴?

2?k

2

≤?3或∴?

2?k

2

≥3
∴k≤-4或k≥8．