Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若不等式f(x)<2x的解集为(1,4),且f(x)=x有两个相等实

数根。求f(x)的解析式

Answer 1

f(x)=x有等根，则delta=0,即(b-1)^2-4ac=0 1）
f(x)<2x的解集为(1,4),即ax^2+(b-2)x+c=0的两根为1,4
故由根与系数的关系，有：
1+4=5=-(b-2)/a,得：b=2-5a
1*4=4=c/a,得：c=4a
代入1）式得：(2-5a-1)^2-4a*4a=0
1-10a+25a^2-16a^2=0
9a^2-10a+1=0
(9a-1)(a-1)=0
a=1,1/9
b=2-5a=-3, 13/9
c=4a=4, 4/9
所以f(x)=x^2-3x+4或f(x)=1/9*(x^2+13x+4)

Answer 2

由f(x)<2x，得ax^2+(b-2)x+c<0,记g(x)=ax^2+(b-2)x+c,因为该不等式的解为(1,4)，故1,4为g(x)的两根，所以
a+(b-2)+c=0;
16a+4(b-2)+c=0;
且a>0.
又f(x)=x有两个相等实根，即ax^2+(b-1)x+c=0有两个相等实根，所以
(b-1)^2=4ac,
综上三个方程解得
a=1,b=-3,c=4;或a=1/9,b=13/9,c=4/9;

Answer 3

可以列出三个方程。
首先f（x）=x有两个相等根，说明ax²+（b-1）x+c=0的判别式Δ=0，即（b-1）²-4ac=0，
其次，ax²+（b-2）x+c﹤0的解集是（1，4），即x=1、x=4是方程的两个根，代入可得
a+b+c-2=0, 16a+4b+c-8=0，有三个方程可解出
a=1，b=-3，c=4

Answer 4

X^2-3x 4=0