Question

从圆X:x2+y2-4x-6y+12=04. 从圆C:x2+y2-4x-6y+12=0 外一点P(a, b)向圆作切线PT,T为 切点,且|PT|=|PO|(O为

4. 从圆C:x2+y2-4x-6y+12=0
外一点P(a, b)向圆作切线PT,T为
切点,且|PT|=|PO|(O为坐标原点),
求|PT|的最小值.及此时点P的坐标

Answer 1

圆的方程：
(x-2)^2+(y-3)^2=1
所以是在(2,3)为圆心，1为直径的圆
过P作PT，所以PT=√(|PC|^2-R^2)=√((a-2)^2+(b-3)^2-1)=PO=√(a^2+b^2)
-->a^2+b^2-4a-6b+12=a^2+b^2
-->4a+6b=12 -->2a+3b=6
求PO最小值则为a^2+b^2最小值
根据柯西不等式得
(a^2+b^2)(4+9)>=(2a+3b)^2
-->a^2+b^2>=36/13
-->PT>=√(36/13)=6√13/13
当且仅当a:b=2:3 即a=12/13 b=18/13 时成立