Question

高中数学，要详解

Answer 1

（1）a=1/2 , -x/2+3/(2x) (x>=1)
f(X)={ 3x/2-1/(2x) (0<x<1)
很显然，f(x)在 【1，+无穷） 单调递减，在 （0，1）单调递增；
（2） (a-1)x+(a+1)/x (x>=1)
f(x)={ (a+1)x+(a-1)/x (0<x<1)
分类讨论，(i) a>1时， a+1>a-1>0, 函数 f(x)=(a-1)x+(a+1)/x (x>=1)为勾形函数，
在【1，根号[（a+1)/(a-1)】 单调递减，在【根号[（a+1)/(a-1)，+无穷）单调递增；
其最小值为：2根号（a^2-1), f(1)=2a; 函数值域为【2根号（a^2-1),+无穷）
函数 f(x)= (a+1)x+(a-1)/x (0<x<1)也为勾形函数，在（0，根号[（a-1)/(a+1)】单调递减，在 （根号[（a-1)/(a+1)，1）单调递增；函数值域为（2根号（a^2-1),+无穷）
方程 f(x)=t要有四个不同解，t要满足： 2根号（a^2-1)<t<2a , a>1.
(ii) -1<=a<1时，f(x)的两个分段函数均为单调函数，此时 方程 f(x)=t 至多只有两个解，不合题意；
（iii) a<-1 时，与（i）类似，答案为： 2a<t<-2根号（a^2-1）（a<-1)
综上所述，方程 f(x)=t要有四个不同解,a，t要满足条件：
2根号（a^2-1)<t<2a 且 a>1 或 2a<t<-2根号（a^2-1）且 a<-1.