Question

高中数学中，证明函数是增函数还是减函数的习题豆丁网

Answer 1

对勾函数：图像，性质，单调性

　　对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示： http://maths352.blogchina.com/maths352/3814527.html
　　
　　对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}。由单调区间可见，它的变化趋势是：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。
　　对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，(a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到(a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab)。现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)＝2sqrt(ab)，这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a)，对应的f(x)=2sqrt(ab)。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：(a+b)/2≥sqrt(ab)，前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。
　　其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。明白了吧，x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx-1，求导方法一样，求的的导函数为a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a)，如果需要的话算出f(x)就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。
　　上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。
　　对勾函数实际是反比例函数的一个延伸，至于它是不是双曲线还众说不一。
　　面对这个函数 f(x)=ax+b/x, 我们应该想得更多，需要我们深入探究：（1）它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；（2）函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；（3）众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。
　　2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 ＝ ＋ 有如下性质：如果常数 ＞0，那么该函数在 0， 上是减函数，在 ，＋∞ 上是增函数．
　　（1）如果函数 ＝ ＋ （ ＞0）的值域为 6，＋∞ ，求 的值；
　　（2）研究函数 ＝ ＋ （常数 ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
　　（3）对函数 ＝ ＋ 和 ＝ ＋ （常数 ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 ＝ ＋ （ 是正整数）在区间[ ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）
　　当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x有最大值
　　f(x)=x+1/x
　　首先你要知道他的定义域是x不等于0
　　当x>0,
　　由均值不等式有：
　　f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2
　　当x=1/x取等
　　x=1,有最小值是：2，没有最大值。
　　当x0
　　f(x)=-(-x-1/x)
　　<=-2
　　当－x=-1/x取等。
　　x=-1,有最大值，没有最小值。
　　值域是：（负无穷，0）并（0，正无穷）
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　　重点（窍门）：
　　其实对勾函数的一般形式是：
　　f(x)=x+k/x(k>0)
　　定义域是:{x|x不等于0}
　　值域是：{y|y不等于0}
　　当x>0,有x=根号k,有最小值是2根号k
　　当x<0,有x=-根号k,有最大值是：－2根号k
　　打钩函数的解析式为y=x+a/x(其中a>0),它的单调性讨论如下：
　　设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2)
　　下面分情况讨论
　　(1)当x1<x2<-根号a时，x1-x20,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(-∞,根号a)上是增函数
　　(2)当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(-根号a,0)上是减函数
　　(3)当0<x1<x2<根号a时，x1-x2<0,x1x2-a0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函数在(0，根号a)上是减函数
　　（4）当根号a<x1<x2时，x1-x20,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函数在(根号a，+∞)上是增函数
　　定义域为(0,+∞)∪(-∞,0)
　　由函数的单调性可得其值域为(-∞,-2根号a)∪(2根号a,+∞)
　　解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。