Question

已知定义在rR上的函数f(x)满足任意a，b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且x＞0时，

已知定义在rR上的函数f(x)满足任意a，b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且x＞0时，f(x)＞0，求出f(x)在R上单调递增

Answer 1

对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2
设a=x1，b=x2-x1，
代入f(a+b)=f(a)+f(b)，得到
f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)
∵x2-x1＞0
∴f(x2-x1)＞0
∴f(x2)＞f(x1)
∴f(x)在R上单调递增。

追问

不太懂

你这么说，a+b=x2了，a+b就一定大于a了，可是不会有其他情况吗？

追答

注意，前面有假设：
x1＜x2

从而
b=x2-x1＞0

追问

不太懂，这样设的话那b就大于a了？

追答

哪有b＞a，
只是b＞0而已，
你再好好看看。

我设的是
a=x1，
b=x2-x1＞0

追问

有点明白了，是不是任意ab，就可以随便设的呢？

追答

是的啊，
对a，b没有任何规定，
那么你想让它等于什么都可以啊

追问

哦哦，就是只要设成可以解决题目的值就可以了，其实不管你设成什么，其实对研究的问题的结果是不产生的？

不产生影响

追答

肯定要代入对解题有帮助的值，
比如，你可以试试，
代入a=b=0，看看有没有收获

追问

f(0)=0，它过原点

太谢谢你了，我一直在纠结ab是不是不可以乱设的，现在知道了

追答

激动吧，
还有很多规律，靠你自己发现了……

追问

这个我可以这样做吗？

追答

感觉题目抄错了，
先对一下原题……

追问

题目没错，那个倒A是任意的意思

追答

我知道，但是y和b，
感觉怪怪的，
不知道怎么代值

追问

我就设y=b=x1

然后后面的b没有代进去了

追答

我搞不定……

追问

嗯～～～没事没事，我去问问我们的老师

麻烦你了呢