Question

21、如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。

（1）求证：AE=CD；
（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论。

Answer 1

一.

∵△ABD，△BCE都是等边三角形
∴DB=AB
EB=CB
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBA+∠DBE=∠EBC+∠DBE
∴∠ABE=∠DBC
在∴∠ABE=∠DBC中
∵AB=DB
∠ABE=∠DBC
EB=CB
∴△ABE≌△DBC
∴AE=CD

二.利用（1）的结论可得BM=BN（全等三角形的对应中线相等），所以是等腰三角形

Answer 2

解：（1）证明：∵△ABD、△BCE都是等边三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD；
（2）△MBN是等边三角形，理由为：
证明：∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC．
∵AE=CD，M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM=DN，
在△ABM和△DBN中
∴△ABM≌△DBN（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN，
∴∠DBM+∠DBN=∠DBM+∠ABM=∠ABD=60°．
∴△MBN是等边三角形．

Answer 3

(1)证明△ABE≌△CBD即可（SAS）
(2)利用（1）的结论可得BM=BN（全等三角形的对应中线相等），所以是等腰三角形