Question

双曲线x²-y²;=a²;的两个焦点F1,F2,P为双曲线上任意一点,求证:|PF1|,|P0|,|PF2|成等比数列

双曲线x²-y²;=a²;的两个焦点F1,F2,P为双曲线上任意一点,求证:|PF1|,|P0|,|PF2|成等比数列（o为坐标原点）

Answer 1

设p坐标为（x，y）根据焦半径公式，PF1的长度为a+ex，PF2长度为ex-a，PO长度平方为x平方+y平方，那么PF1乘以PF2等于2乘以x^2-a^2,而x^2+y^2化简,可以用x^2的代数式来替换y^2,所得结果也是2乘以x^2-a^2,所以是成等比数列
注意:我这里的^代表指数，双曲线求点到焦点距离很多都可以用焦半径公式来解，同是要注意代换的思想