定积分x(sinx)³dx 在0到π上
记A＝∫(0到π) x(sinx)³dx，换元x＝π-t，则A＝∫(0到π) π(sinx)³dt－∫(0到π) t(sinx)³dt
所以A＝π/2×∫(0到π) (sinx)³dx
又因为(sinx)³以π为周期，且是偶函数
所以∫(0到π)(sinx)³dx＝∫(-π/2到π/2) (sinx)³dx＝2∫(0到π/2)
(sinx)^6dx,套用定积分公式，∫(0到π) (sinx)³dx＝2×5/6×3/4×1/2×π/2
所以,原积分A＝π/2×2×5/6×3/4×1/2×π/2＝5π^2/32
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！
扩展资料
定理
一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
记A＝∫(0到π) x(sinx)³dx，换元x＝π-t，则A＝∫(0到π) π(sinx)³dt－∫(0到π) t(sinx)³dt
所以A＝π/2×∫(0到π) (sinx)³dx
又因为(sinx)³以π为周期，且是偶函数
所以∫(0到π)(sinx)³dx＝∫(-π/2到π/2) (sinx)³dx＝2∫(0到π/2)
(sinx)^6dx,套用定积分公式，∫(0到π) (sinx)³dx＝2×5/6×3/4×1/2×π/2
所以,原积分A＝π/2×2×5/6×3/4×1/2×π/2＝5π^2/32
扩展资料：
求积分一般要运用的定理：
1、设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
2、设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
3、设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
4、牛顿-莱布尼茨公式：如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么
用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
