Question

设f(x)是以l为周期的连续函数，证明∫f(x)dx(上限为a+l,下限为a）=∫f(x)dx（上l下0） 即∫f(x)dx的值与无

Answer 1

定义变限积分F(a)=∫f(x)dx(上限为a+l,下限为a）
关于a求导数得F'(a)=f(a+l)-f(a)=0（因为f(x)以l为周期）
所以F(a)恒等于常数，即与a的值无关

Answer 2

另t=a+x,则∫f(x)dx（上a+1下a）=∫f(t)dt（上a+1下a）
=∫f(x+a)d(x+a)（上a+1-a下a-a）=∫f(x)dx（上1下0）
证明完成。

Answer 3

设a≤t<a+1,且f(t)=f(0),显然f(a)=f(a+1),f(t)=f(t+1)
∫f(x)dx（上l下0）=∫f(x)dx（上t+1下t）
=∫f(x)dx（上a+1下t）+∫f(x)dx（上t+1下a+1）
=∫f(x)dx（上a+1下t）+∫f(x)dx（上t下a）
=∫f(x)dx (上a+l下a）