Question

参数方程题 设M为x^2/a^2-y^2/b^2=1双曲线上的任意一点,o为原点（1）：若a=b求证M到渐近线的距离之积为常

参数方程题 设M为x^2/a^2-y^2/b^2=1双曲线上的任意一点,o为原点（1）：若a=b求证M到渐近线的距离之积为常数
（2）：过M点做双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交与A、B两点，求证：平行线四边形MAOB的面积为定值

Answer 1

设双曲线方程为 x^2/a^2-y^2/b^2=1 ，a>0, b>0 , 焦点在x轴.
则 渐近线为：
L1：y=(b/a)·x
L2：y=-(b/a)·x
P(x0, y0) 是双曲线上任意一点，
设 y=-(b/a)·x+d 是过P点平行L2的直线，交y轴D(0, d)，与L1交于E(x1, y1)
则 d=(bx0+ay0)/a ,
x1=(bx0+ay0)/(2b) , x1与 x0 同号
因为 三角形DOE的面积S1=|d · x1| / 2
于是所求面积S=2SE0P=|x0 · d|-2 · S1=|x0·d|-|x1·d|
因为 x0与x1同号，所以
S=|x0-x1|·|d|
=(bx0-ay0)(bx0+ay0)/(2ab)
=a^2·b^2/(2ab)=ab/2
即对已知双曲线，S=ab/2 是定值。

追问

谢谢 囧 都过了五年了 我都上大学了 不过还是谢谢啦