Question

证明,当0<x<π时,有∑sin(2n+1)x/(2n+1)=π/4 我不知道怎么把自己的答案送给在

证明,当0<x<π时,有∑sin(2n+1)x/(2n+1)=π/4

我不知道怎么把自己的答案送给在网上提的这个问题的人，
所以只能自己提问自己回答

证明,当0<x<π时,有∑sin(2n+1)x/(2n+1)=π/4

首先，一看这道题就跟傅里叶级数脱不了干系
但是等式左边没有cosnx项，并且题设条件是0<x<π
所以，应该是对右边的π/4进行奇延拓，求傅里叶级数
令F(x)={- π/4 -π≤x<0
{ 0 x=0
{ π/4 0<x≤π
（特别说明一下，这里虽然取了x=±π,但后面取f(x)= π/4的傅里叶级数时不取便是，对结果没有影响 ）
由于是奇函数，所以a0和an均为0，只用算bn，这本来便是奇延拓的表现
bn=1/π∫-π→π F(x) sin(nx) dx
=2/π∫0→π π/4 sin(nx) dx
=1/2∫ 0→π sin(nx) dx
=-1/(2n) cos(nx) | 0→π
=-1/(2n) [(-1)ⁿ - 1]
=1/(2n) [1-(-1)ⁿ]
所以
F(x) ~ ∑n=0→∞ { 1/(2n) [1-(-1)ⁿ] sin(nx) }
（由于n为偶数时， [1-(-1)ⁿ] =0；n为奇数时， [1-(-1)ⁿ]=2，与2n中的2约掉成为n，所以，只剩下奇数项。所以，现在，把里面的 [1-(-1)ⁿ]=2，n变为2n+1）
= ∑n=0→∞ { 1/(2n+1) sin[(2n+1)x] }
所以，它由于F(x)在0<x<π上是连续的，所以其傅里叶级数的和函数S(x)在0<x<π上的值就为F(x)在0<x<π上的值，即为f(x)，即为π/4
即
∑n=0→∞ { 1/(2n+1) sin[(2n+1)x] } = π/4
原式得证

（由于手机的照相机有问题，写在纸上拍不清楚，所以只能用手打，其中有很多地方都没有说清楚，希望多包涵，但是上课只要听了，应该还是不难理解的，微积分的最末章节，你们现在应该学完了，加油）
问题补充：顺便问一下大家知道怎么回答别人的提问吗？

Answer 1

虽然方式很奇葩，但还是多谢题主

Answer 2

找到他们的问题 在下面点回答即可，感谢解决了一个我想知道的问题 写的很详细，还有第一个∑范围是n从1到正无穷吧

Answer 3

为什么连续就说明和函数是Fx在(0，π)上的值