Question

设F(y+1/x,z+1/y)=0确定了函数z=z(x,y),其中F可微,求z对x和z对y的一阶偏导

Answer 1

F（x/z,y/z）=0,F_1表示F对第一个变量求导,F_2表示F对第二个变量求导.
根据chain rule：
两边对x求导得到F_1 （x/z,y/z）*（1/z+z_x * [x/(-z^2)]）+F_2 (x/z,y/z) *y/(-z^2)*z_x=0
带入z=f（x,y）,然后解出z_x即可.
类似的可以求出z_y (或者可以根据x和y的对称性直接写出来).

Answer 2

①方程两边对x求导得：-F1'x^(-2)+F2'∂z/∂x=0
所以求得∂z/∂x=F1'/x^2F2'
②方程两边对y求导得：F1'-y^(-2)F2'∂z/∂y=0
所以求得∂z/∂y=F1'y^2/F2'