Question

已知圆C:(x-1)^2+(y-3)^2=16，直线l:(2m+3)x+(m+4)y+2m-2=0

(3)试判断直线l被圆C截得的弦何时最短，并求截得的弦最短时m的值以及弦的长度a

Answer 1

直线l可变为(含m的单独提出来)：
m(2x+y+2)+3x+4y-2＝0

当2x+y+2＝0时，
直线l即为：3x+4y-2＝0，
此时x＝-2，y＝2
即直线l恒过点(-2,2)，与m取值无关
设A(-2,2)

圆心C(1,3),半径r=4
AC＝√[9+1]＝√10<4,所以A点位于圆C内部。

所以过A点的弦垂直AC时，弦长最短！
直线AC斜率为：k=1/3
l斜率为：k'＝-1/k＝-3
即k'＝-(2m+3)/(m+4)＝-3，=>m＝-9

a＝2√[r^2-AC^2]＝2√6