Question

已知y=f（x）定义域为（0，+无限大），且是单调函数，并且满足f（2）=1，f（x/y）=f（x）-f（y）.

（1）求证f（x²）=2f（x）
（2）求f（1）的值
（3）若f（x）-f（x+3）≤2，求x的取值范围

Answer 1

解：

(1)证明：

令x=y=1，则

f(1)=f(1)-f(1)=0

令x=1，则

f(1/y)=f(1)-f(y)

即f(1/x)=-f(x)

令y=1/x，则

f(x²)=f(x)-f(1/x)=f(x)+f(x)=2f(x)

得证

(2)由(1)已经求出f(1)=0

(3)∵f(2)=1

∴f(4)=2f(2)=2

∴f（x）-f（x+3）≤2=f(4)

∴f(x/（x+3))≤f(4)

定义域是x＞0

∵函数是单调的，f(1)=0，f(2)=1，所以函数是单调递增函数

∴x/(x+3)≤4

x≤4x+12

∴x≥-4

综上，得x的范围是(0,+∞)

谢谢

Answer 2

(1)已知f（x/y）=f（x）-f（y），这个函数为抽象函数，令x=xy,y不变,该式可变为f(xy/y)=f(xy)-f(y)即f(x)=f(xy)-f(y)变为f(xy)=f(x)+f(y)再令y=x，
即得f(x²）=2f（x）
(2)已知f（x/y）=f（x）-f（y）,令x=2,y=1得f(2)=f(2)-f(1)得f(1)=0
(3)已知f（x/y）=f（x）-f（y)令x=4,y=2得f（2）=f(4)-f(2)得f(4)=2
f（x）-f（x+3）≤2等价于 f(x/(x+3))<=f(4)要求值需要利用单调性。
因为该函数是单调函数，由上知道f(2)>f(1)所以该函数单调递增
所以x/(x+3)<=4
x>0
x+3>0
解答得
x>0
如果你还不明白，可以联系我，非常乐意为您效劳！

Answer 3

由题得：f(2)=f(2/1)=f(2)-f(1)=1~~f(1)=0~~~f(x^2)=f[x/(1/x)]=f(x)-f(1/x)=f(x)-f(1)+f(x)=2f(x)~~~~~<2>:由一得f(1)=0~~~~~~~<3>:f(x)=f(x)-f(x+3)=[x/(x+3)]~~~~~2=f(2)+f(2)=2f(2)=f(4)~~~~f(x)为当调函数,又f(1)=0<f(2)=1~~所以f(x)当调递增~~~所以，x/(x+3)>=4,解得，x>=-3,x<=-4~~又因为f(x)(0,+无穷)~~x>0