Question

导数有关问题求解

问题如图（特别是第二问）

Answer 1

(1)设a>0,讨论函数f(x)的单调性；
解析：∵函数f(x)=(1+x)e^(-ax)/(1-x)，其定义域为x≠1
[(1+x)e^(-ax)]’=e^(-ax)+(1+x)e^(-ax)(-a)=e^(-ax)(1-a-ax)
F’(x)=e^(-ax)[(1-a-ax)(1-x)+(1+x)]/(1-x)^2
=e^(-ax)(ax^2-a+2)/(1-x)^2
令h(x)=ax^2-a+2=0==>x1=-√[(a-2)/a]，x2=√[(a-2)/a]
(a-2)/a>=0==>a<0,或a>=2
当a<0时，函数h(x)为开口向下的抛物线，x取过x1时，h(x)由负变正，∴函数f(x)在x=x1处取极小值；x取过x2时，h(x)由正变负，∴函数f(x)在x=x2处取极大值；
∴当x∈(-∞,x1),函数f(x)单调减；x∈(x1,1),函数f(x)单调增；x∈(1,x2),函数f(x)单调增；x∈(x2,+∞),函数f(x)单调减；
当a>=2时，函数h(x)为开口向上的抛物线，x取过x1时，h(x)由正变负，∴函数f(x)在x=x1处取极大值；x取过x2时，h(x)由负变正，∴函数f(x)在x=x2处取极小值；
又x2=√[(a-2)/a]<1
∴当x∈(-∞,x1),函数f(x)单调增；x∈(x1,x2),函数f(x)单调减；x∈(x2，1),函数f(x)单调增；x∈(1,+∞),函数f(x)单调增；
当a=0时，f(x)=(1+x)/(1-x)
∴当x∈(-∞,1),函数f(x)单调增；x∈(1,+∞),函数f(x)单调增；
当0<a<2时，h(x)>0==>f’(x)>0,
∴当x∈(-∞,1),函数f(x)单调增；x∈(1,+∞),函数f(x)单调增；
以上对函数f(x)作了全面分析
∵本题要求a>0
当0<a<2时
当x∈(-∞,1),函数f(x)单调增；x∈(1,+∞),函数f(x)单调增；
当a>=2时
∴当x∈(-∞,x1),函数f(x)单调增；x∈(x1,x2),函数f(x)单调减；x∈(x2，1),函数f(x)单调增；x∈(1,+∞),函数f(x)单调增；

(2)若对任意x∈(0,1),恒有f(x)>0,求a的取值范围。
当a<0时，x∈(x1,1),函数f(x)单调增；
f(0)=(1+0)/(1-0)=1,∴满足对任意x∈(0,1),恒有f(x)>0
当0<=a<2时
当x∈(-∞,1),函数f(x)单调增；∴满足对任意x∈(0,1),恒有f(x)>0
当a>=2时
当x∈(x1,x2),函数f(x)单调减；x∈(x2，1),函数f(x)单调增；
0<X2<1
f(x2)=(1+x2)e^(-ax2)/(1-x2)>0
综上，当a∈R时，均满足对任意x∈(0,1),恒有f(x)>0

Answer 2

你在问什么啊？