Question

从1到100这100个自然数中任取3个不同的自然数,和为3的整数倍的概率

Answer 1

从1到100的100个自然数可分为3k、3k+1、3k+2（k∈Z）三种类型的数，3个不同的自然数的和为3的整数倍的组合形式有：
　①3个3k型的数相加：
令1≤3k≤100得，1≤k≤33（k∈Z），从中取出三个数的方法有C(33,3)种；
　②3个3k+1型的数相加：
令1≤3k+1≤100得，0≤k≤33（k∈Z），从中取出三个数的方法有C(34,3)种；
　③3个3k+2型的数相加：
令1≤3k+2≤100得，0≤k≤32（k∈Z），从中取出三个数的方法有C(33,3)种；
④1个3k型的数、1个3k+1型的数及1个3k+2型的数相加：
从这三种类型的数中各取出1个数的方法有33×33×34种。
综上可得
从1到100这100个自然数中任取3个不同的自然数，和为3的整数倍的概率
=[C(33,3)+C(33,3)+C(34,3)+33×33×34]/C(100,3)
=[6×C(33,3)+6×C(33,3)+6×C(34,3)+6×33×33×34]/[6×C(100,3)]
=[A(33,3)+A(33,3)+A(34,3)+6×33×33×34]/A(100,3)
=[2×A(33,3)+32×A(34,2)+6×33×A(34,2)]/A(100,3)
=[2×A(33,3)+230×A(34,2)]/A(100,3)
=(2×33×32×31+230×34×33)/(100×99×98)
=[4×33×(16×31+115×17)]/(50×33×49×4×3)
=(16×31+115×17)/(50×49×3)
=2451/(50×49×3)
=(817×3)/(2450×3)
=817/2450

Answer 2

将1~100分成3个子集：
子集1{3n+1}：共34个，
子集2{3n+2}：共33个，
子集3{3n}：共33个，
1、当三个数均从同一子集中取出时，其和为3的倍数，
共有：C(34,3)+C(33,3)+C(33,3)=34*33*32/3*2+2*33*32*31/3*2=16896种，
2、当从三个子集中各取一个数时，其和为3的倍数，
共有：34*33*33=37026种，
总的取法有：C(100,3)=100*99*98/3*2=161700，
——》概率=(16896+37026)/161700=33.35%。