Question

欲制造一个容积为V的圆柱形有盖容器,问如何设计可使材料最省

Answer 1

解：设此圆柱形地面半径为x，高为y
则此圆柱形表面积是s=2πxy+2πx²..........(1)
它的体积是v=πx²y..........(2)
由方程(1)和(2)做辅助函数f=2πxy+2πx²+λ(πx²y-v)
令fx'=2πy+4πx+2λπxy=0..........(3)
fy'=2πx+λπx²=0..........(4)
fλ'=πx²y-v=0..........(5)
解方程组(3)(4)(5)得x=(v/(2π))^(1/3).，y=(4v/π)^(1/3)
故把此有盖圆柱形容器设计成底面半径是(v/(2π))^(1/3)，高是(4v/π)^(1/3)时，使用的材料最省。