Question

limx趋向0 (e-(1+x)^1/x )/x 求极限

Answer 1

lim(x->0)(exp(1)-(1+x)^(1/x))/x

=lim(x->0)(exp(1)-exp(1)exp(ln(1+x)/x-1))/x

=lim(x->0)exp(1)(1-exp(ln(x+1)/x-1))/x

利用等价无穷小

=lim(x->0)exp(1)(-(ln(x+1)/x-1))/x

=lim(x->0)exp(1)(x-ln(x+1))/x^2

利用洛必达法则

=lim(x->0)exp(1)(1-1/(x+1))/(2x)

=lim(x->0)exp(1)/(2(x+1))

=exp(1)/2

遇到极限一般是用等价无穷小和洛必达法则，然后遇到指数一般用对数转化。

扩展资料

求极限基本方法有

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

Answer 2

lim(x->0)(exp(1)-(1+x)^(1/x))/x
　　=lim(x->0)(exp(1)-exp(1)exp(ln(1+x)/x-1))/x
　　=lim(x->0)exp(1)(1-exp(ln(x+1)/x-1))/x
　　利用等价无穷小
　　=lim(x->0)exp(1)(-(ln(x+1)/x-1))/x
　　=lim(x->0)exp(1)(x-ln(x+1))/x^2
　　利用洛必达法则
　　=lim(x->0)exp(1)(1-1/(x+1))/(2x)
　　=lim(x->0)exp(1)/(2(x+1))
　　=exp(1)/2
　　遇到极限一般是用等价无穷小和洛必达法则，然后遇到指数一般用对数转化。

Answer 3

用等价无穷小替换和洛必达法则，原式=lim(x→0)(x-e^x+1)/(x(e^x-1))=lim(x→0)(x-e^x+1)/x^2=lim(x→0)(1-e^x)/(2x)=-1/2lim(x→0)(e^x-1)/x=-1/2