Question

微分与增量的几个问题

Answer 1

全增量是指由于自变量的微小变化而引起函数值（因变量）的实际变化，以二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)处的全增量为例就是f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)；而全微分是指全增量的近似值，这个近似值du=σf(x,y)x|(x0,y0)*△x+σf(x,y)y|(x0,y0)*△y。在实际问题中我们遇到的f(x,y)可能很复杂，不易直接去求出全增量，或者没有必要确切知道全增量是多少（例如房子的房梁没有必要非得做的毫厘不差），于是我们就可以用全微分来近似地表示全增量。我们知道一元微分其实就是函数自变量变化与该处的因变量对自变量的变化率（斜率）的积，全微分只不过是偏微分（可以看作一元，只有一个自变量）的和罢了，用微分表示函数的变化为什么会有误差呢？因为用微分表示其实是在用（x0,y0）的值及其变化规律（偏微分）来近似预测（x0,y0）极小范围内函数值（因为你求全微分是所用的函数性质无论是值还是偏微分都是在（x0,y0）处的），这种预测的误差是多少呢，是否可以接受呢？那就请你仔细看看全微分的定义，定义中明确指出误差是ρ的更高阶无穷小，所以是可以接受的。至于这个误差为何是这样，等你看完了多元函数的泰勒公式，你就明白了。