Question

数学数分三问题，求大佬解答一下

Answer 1

不可微，在原点处连续，且偏导数存在，但是不可微。
∵| xy/√x^2+y^2-0|≤(1/2)√x^2+y^2
∴xy/√x^2+y^2 在原点连续.
fx(0,0)=lim(x→0)(0-0)/(x-0)=0
fy(0,0)=lim(y→0)(0-0)/(y-0)=0
∴xy/√x^2+y^2 在原点偏导存在
lim(x→0,y→0)([xy/√x^2+y^2]/√x^2+y^2不存在.
∴xy/√x^2+y^2 在原点不可微
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求全增量
△f
=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)
=△x△y / √(△x^2+△y^2)
反证法,假设f在(0,0)可微,那么必有：
△f=0△x+0△y+0△x+[△x / √(△x^2+△y^2)]△y
但是,
lim[(△x,△y)→(0,0)] △x / √(△x^2+△y^2)并不等于零（△x=△y即得出极限为1/2）
这与可微是矛盾的
因此,f在(0,0)处是不可微的