Question

高等数学间断点类型？

如图，这题要怎么做，求下过程，谢谢啦

Answer 1

这个函数的表达式有两个分母，分别是

分母等于0的x无意义，所以使分母等于0的x是间断点。两个间断点分别是x＝0和x＝1。

①x趋于0时，这个函数是0/0型极限，分母可以使用等价无穷小，因为x趋于0时下面这个等价无穷小成立

又x趋于0时，x/(1－x)趋于0，所以有下面的等价无穷小成立

所以函数趋于0的极限等于下面这个式子在x趋于0的极限

x趋于0时，x－1趋于－1，所以函数趋于0的极限是－1。也就是x＝0的左右极限存在且相等，x＝0是可去间断点。

②x趋于1。这里e的指数趋于正无穷和负无穷，要注意到指数函数在x趋于正无穷和负无穷的极限不一样，所以要分左右极限讨论。

(1)当x从左侧趋于1，x小于1，那么e的指数趋于正无穷，e的x/(1－x)次幂趋于正无穷，函数的分母趋于负无穷，而分子x趋于1，也就是函数值从负数趋于0。

(2)当x从右侧趋于1，x大于1，那么e的指数趋于负无穷，e的x/(1－x)次幂趋于0，函数的分母趋于1，而分子x趋于1，也就是函数值趋于1。

所以x＝1处左右极限存在且不相等，是跳跃间断点。

函数图像如图所示：

Answer 2

函数有两个间断点，一个在x=1, 一个在x=0，在其它地方都连续。
那x趋于1+时，函数的极限是1，x趋于1-时，函数的极限是0, 所以这是一个跳跃断点。
而当x趋于0时，函数的极限是-1，所以这是一个可去断点。

Answer 3

这种函数的间断点就是函数解析式子没有意义的点，显然，这个题中没定义的点只有分母为0的地方，即x=a，x=1，（关于a你会了就不说了）已知x=1是可去间断点，即当x趋于1时，这个函数极限存在，当x趋于1时，分母趋于0，极限要存在，分子必须趋于0才可能，而分子当x趋于1时，值为e-b=0即b=e。当b=e时，函数极限计算后可知确实存在，故b=e，且此时x=1就是函数的可去间断点（若此时极限依然不存在，那么就不存在b使得函数在此点是可去间断点）

Answer 4

Answer 5