Question

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如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点C落在AB边上的点C′处（与点A，B不重合），点D落在D′处，C′D′交AD于点E，折痕为MN． （1）已知AB=7，BC=9，当点C′在什么位置时，可以使△NBC′≌△C′AE？ （2）如果AB=BC=1，那么使△NBC′≌△C′AE的点C′是否存在？如果存在，求出点C′的位置；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，则BN=AC′=AB-BC′=7-x，NC=BC-BN=9-（7-x）=2+x，
∵把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处，折痕为MN，
∴NC′=NC=2+x．
在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，
∴NC′ ² =BC′ ² +BN ² ，
∴（2+x） ² =x ² +（7-x） ² ，
解得x ₁ =3，x ₂ =15，
∵15>AB，舍去，故x=3，即当点C′在AB上距离点B3个单位时，可使△NBC′≌△C′AE；

（2）如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．
理由如下：
设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，则BN=AC′=AB-BC′=1-x，NC=BC-BN=1-（1-x）=x．
∵把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处，折痕为MN，
∴NC′=NC=x．
在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，
∴NC′>BC′，
而NC′=BC′=x，
∴如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．