Question

若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)*f(b),且当x<0时，f(x)>1.求证：f(x）>0.且f(x）为减函数。若

Answer 1

1）
证明：f(a+b)=f(a)f(b)
令a=b=0有：f（0+0）=f（0）f（0）即f（0）=f2（0）解：f（0）=0或1；
若f（0）=0， 令a=1，b=0有：f（1+0）=f（1）*f（0）=0即：f（1）=0
这与已知条件x＞0时，f（x）＞1相矛盾，
∴f（0）=1；
设x＜0，则-x＞0，f（0）=f（x+（-x））=f（x）*f（-x）=1；
又f（-x）＞1
∴f（x）=1/f（-x）＞0
∴f（x）＞0
2）
设x1＜x2，
在f（a+b）=f（a）f（b）中，令a=x1，b=x2-x1有：
f（x1+x2-x1）=f（x1）f（x2-x1）
即f（x2）=f（x1）f（x2-x1）
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1）f（x2-x1）
=f（x1）[1-f（x2-x1）]
又f（x1）＞0， x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＞1，∴1-f（x2-x1）＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）为增函数；（这里题目应该是出错了，前面已经证明f（0）=1，而已知条件x＞0时，f（x）＞1，不可能是减函数，只能是增函数。）

Answer 2

(1)
令a=b=x/2
f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]^2
非零函数f(x)
所以f(x)>0
(2)
令a=x1-x2 b=x2 且x1<x2
f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)*f(x2)
f(x1)=f(x1-x2)*f(x2)
[x1-x2<0 f(x1-x2)>1
且f(x1)>0 f(x2)>0]
f(x1)/f(x2)>1
f(x1)>f(x2)
即得当x1<x2 f(x1)>f(x2)
所以f(x)为减函数
(3)
f(4)=f(2)*f(2) f(2)>0
所以f(2)=1/4
f(x-3)*f(5)<=1/4
f(x-3+5)<=f(2)
[f(x)为减函数]
x-3+5>=2
x>=0

Answer 3

你的题目没写清楚呢，且f(x)为减函数是条件还是要证明的。

因为f(a+b)=f(a)×f(b)
令a=1,b+0,即f(1+0)=f(1)×f(0)
f(1)=f(1)×f(0)
所以 f(0)=1