Question

求函数零点个数的方法

Answer 1

是函数  时  的取值.在函数图象上即是  图象与  交点横坐标.

所以我们求零点，可以从两方面入手：①求  的解；②求  图象横截距.

我们看一下有哪些具体方法：

①解方程：通过解方程  得到零点；

②数形结合：这是经常用到的分析方法，特别是选填题中得到广泛应用；

③零点存在定理：用零点存在定理来确定某区间是否有零点，这是解答题中的重要方法；

④求零点个数：求零点个数时，就要判断每个单调区间，同时还要判断个单调区间的零点存在性.

而具体解答题的过程中，我们也会遇到函数较复杂，先将复杂问题转化为简单问题，再选择合适的方法来求零点.

我们来看一个具体的例子.

【例1】（2018全国2卷文数21-2）已知函数，

证明：  只有一个零点.

【分析】  是一个含参的三次函数，貌似是一个三次函数求零点个数问题，但是带着参数问题就变复杂了，所以这个时候可以转化一下，分离参数为求：  的解个数问题.进一步转化为函数的零点个数问题.

【解析】因为  恒成立.所以  零点个数等价于函数函数的零点个数问题.

先判断  单调性，用导数法：  ,

当且仅当  时  ,

 单调递增.所以  至多有一个零点，从而 至多有一个零点.

又因为  ,  ,

所以  恰有一个零点.

【小结】分离参数读者们应该还好理解，为什么要选择  就是一脸懵了.这属于找点的内容（内点定理），我们后面专门花章节来讲解这个内容.我们还是先理解零点存在定理的应用.

本节我们重点讲解求零点个数问题的求法，近年高考也是热点题型，也是我们零点问题将面临的重点问题.

【例2】（2019全国2卷理数20-1改编）已知函数  ,求  的零点个数.

【分析】求零点个数问题，我们要求函数的单调区间，然后判断每一个单调区间的零点存在性.

【解析】  定义域为  ，而  ,

由和差法：  和  在上都是单调递增了，

所以  在单调递增；

在  上  单调递增，当  时，  ，

当  时，  ，

由零点存在定理和单调性，  在  有唯一零点，