Question

矩阵合同的性质是什么?

Answer 1

当矩阵A经过若干套初等变换而化为矩阵B时，则称为A合同于B,记为。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。

矩阵的合同是在讨论用（对称）矩阵表示二次型的问题中产生的。所谓一套初等变换，是指将某一种初等变换首先对一个矩阵的第i列（行）施行而得一矩阵，然后再对此所得矩阵的第i行（列）施行又得一矩阵。

第一、二、三套初等交换，分别由第一、二、三种初等变换组成。两个n阶矩阵A与B合同，必要而且只要有非奇异矩阵P使P┡AP＝B。与对称矩阵合同之矩阵仍为对称矩阵。

每个秩数为r的实对称矩阵A恒合同于一个对角矩阵，其对角线上有p个1与q个－1；其他的对角线元素均为0，这里p≥0,q≥0，p+q=r，而且p与q都是由A所惟一确定的。

实对称矩阵的特征根恒为实数。实对称矩阵A能合同于而又相似于一个对角矩阵，其对角线元素恰为A的全部特征根。与单位矩阵合同的实对称矩阵，称为正定矩阵。