Question

如图,在等腰梯形ABCD中,AB平行CD,点O是AB的中点，AB=2，OD=1，设等腰梯形的腰长为x周长为y

如图,在等腰梯形ABCD中,AB平行CD,点O是AB的中点，AB=2，OD=1，设等腰梯形的腰长为x周长为y
1）写出y与x之间的函数关系式
2）求腰长的取值范围
3）等腰梯形的腰长为多少时，其周长最长？

Answer 1

已知：四边形ABCD是等腰梯形，AO=BO，AB‖CD，AB=2，OD=1。

作辅助线：过O点作OE⊥CD，垂足E在CD上。

 设：等腰梯形ABCD的腰为X，周长为Y。

（1）立出Y = f (X) 的函数式

     DC=Y-AB-2X

      sinβ=sin(90°－α)=cosα=(DC/2)/OD

      DC=2 cosα=Y－AB－2X

      X^2=AO^2＋OD^2－2*AO*OD*cosα

         =2－2 cosα

         =2－（Y－AB－2X）

         = 4－Y＋2X

   Y＝4＋2X－X^2

（2）求X的取值范围

     当OD垂直AB时

        X^2=AO^2+OD^2

        X=√2

     当OD趋向与AO重叠时

        X→0

     X的取值范围为 0＜X＜√2

     说明：X=0时，是直线，不是四边形。

           X=√2时，是三角形，不是四边形。

（3）何时Y最长

   Y＝4＋2X－X^2

   当X＝1时，Y为最大值5。