Question

已知函数f(x)=ax+1/x+2,其中a<1/2.(1)求证；函数f(x)在(-2,+无穷大)上是减函数 (2)若函数在…………

已知函数f(x)=ax+1/x+2,其中a<1/2.(1)求证；函数f(x)在(-2,+无穷大)上是减函数
(2)若函数在[2,10]上的最小值是1，求a的值

Answer 1

（1）设-2＜x1＜x2
f(x1)-f(x2)=ax1+1/x1+2 - ax2+1/x2+2
=(ax1+1)(x2+2)-(ax2+1)(x1+2) / (x2+2)(x1+2)
=2ax1-2ax2+x2-x1 / (x2+2)(x1+2)
=(x2-x1)(1-2a)/(x2+2)(x1+2)
∵-2＜x1＜x2
∴(x2+2)(x1+2)＞0 (x2-x1)＞0 ①
∵a<1/2
∴(1-2a)＞0 ②
由①②得f(x1)-f(x2)＞0
所以函数f(x)在(-2,+无穷大)上是减函数

（2）∵函数f(x)在(-2,+无穷大)上是减函数，[2,10]上的最小值是1
∴f(10)=1
即10a+1/12=1 a=11/10