Question

已知：a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1 求证1. abc小于或等于1/27 2. 1/a+1/b+1/c大于或等于9

Answer 1

1:因为a+b+c=1，所以a+b+c大于等于3乘3次根号下abc
也就是1大于等于3乘3次根号下abc
之后即可证明
2：将所有1换成a+b+c 可得
原式=1+b/a+c/a+1+a/b+c/b+1+a/c+b/c
分别均值定理b/a+a/b大于等于2，其他同理即可

Answer 2

（1）a+b+c≥3*三次根号abc
1≥3*三次根号abc
abc≤1/27
（2）（1/a+1/b+1/c）（a+b+c）=1+b/a+c/a+1+a/b+c/b+1+a/c+b/c
=3+（a/b+b/a）+（c/a+a/c）+（c/b+b/c)≥3+3*2=9

Answer 3

因为a+b+c>=3*(abc)^(1/3)
所以abc<=[(a+b+c)/3]^3
又a+b+c=1
所以abc<=(1/3)^3=1/27
(2)
1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=3+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)
>=3+2+2+2
=9
当a=b=c时,取"="

Answer 4

直接用均值不等式好了