Question

不定方程5x+9y=86的正整数解是

Answer 1

不定方程 5x+9y=86的正整数解是x=1，y=9或 x=10，y=4。

不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组，一般来说，其未知数的个数多于方程的个数。古希腊数学家丢番图于 3世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

整除法：利用不定方程中各数除以同一个除数，也就是根据特点各项都含有一个因数来求解。

奇偶性：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。

尾数法：看到以0或5结尾的数，想到尾数法。

同余特性(余数的和决定和的余数)：不定方程中各数除以同一个数，所得余数的关系来进行求解，求x，则消y，除以y的系数。

特值法：根据题意能列出三元一次方程组，而此时两个方程三个未知数，意味着这个方程组有无穷组解。但题目并没有让我们求多少组解，而是求未知数之和。也就是说虽然此题有多组解，但每组解的未知数之和是确定的，所以我们只需求出无穷组解中的某一组再求和即可。