Question

设a>0,且a不等于0,如果函数y=a的2x次方+2a的x次方-1在[-1,1]上的最大值为14,求a的值

Answer 1

y=a^(2x)+2a^x-1=(a^x+1)^2-2
当a>1时，函数在〔-1，1〕上是单调增的。
所以最大值为f(1)=aa+2a-1=14,得出a=3(a=-5舍去)
当0<a<1时，函数在〔-1，1〕上是单调减少的。
所以最大值为f(-1)=1/aa+2/a-1=14,解得a=1/3(另根舍去)

关键要判断在〔-1，1〕上的单调性，利用同增异减性易得。

Answer 2

y=a∧2x+2a∧x-1=(a∧x+1)²-2
∵a＞0∴a∧x+1＞0
y(max)=(a∧x+1)²-2=14
a∧x+1=8
a∧x=7
当0＜a＜1时，a∧x为单调递减函数
则x=-1时，a∧x最大，则a=1/7
当a＞1是，a∧x为单调递增函数
则x=1时，a∧x最大，则a=7

Answer 3

令t=a^x>0则 y=t^2+2t-1=(t+1)^2-2在[-1,1]上的最大值为14，
那么t=3=a^x x=loga3 x∈[-1,1]=>-1≤loga3≤1