Question

设a，b是非零向量，且a与b不平行，求证a+b与a-b不平行

Answer 1

证明：因为 a与b不平行,
所以 a不等于b且a不等于-b.
所以 a+b,a-b都不为零向量.
假设 a+b与a-b平行，则存在实数t,使得
a+b=t(a-b)
即 (1-t)a+(1+t)b=0.
又因为 1-t,1+t不全为0,
所以 a与b共线,与a与b不平行矛盾.
所以假设不成立,即a+b与a-b不平行.

= = = = = = =
说明：
(1)共线向量要先考虑零向量。
(2)由于a-b不是零向量，因此可令
a+b=t(a-b).
(3)向量共线的充要条件是：
存在不全为0的两个实数m和n，使
ma+nb=0.
其中，不全为0，包括：
m,n都不等于0,
m=0,n不等于0,
m不等于0,n=0.

Answer 2

if a与b不平行, then
a x b ≠ 0 (vector, where x is cross product)

(a+b)x(a-b)
= axa - axb + bxa -bxb
= - 2 axb ( axa = bxb = 0)
≠ 0 (vector)

a+b与a-b 不平行