数学椭圆

已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点F1,F2,当a,b满足什么关系时,椭圆存在点P,使三角形F1PF2为直角三角形(角F1PF2为90度)... 已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点F1,F2,当a,b满足什么关系时,椭圆存在点P,使三角形F1PF2为直角三角形(角F1PF2为90度)?这样三角形有几个 展开
看涆余
2010-10-28 · TA获得超过6.7万个赞
知道大有可为答主
回答量:7626
采纳率:85%
帮助的人:4295万
展开全部
若〈F1PF2=90度,则根据勾股定理,
PF1^2+PF2^2=F1F2^2,
设椭圆焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0),
|F1F2|=2c,
c=√(a^2-b^2),
PF1^2+PF2^2=4c^2=4(a^2-b^2),
|PF1|+|PF2|=2a,
(|PF1|+|PF2|)^2=4a^2,
PF1^2+PF2^2+2|PF1|*|PF2|=4a^2,
4(a^2-b^2)+2|PF1|*|PF2|=4a^2,
|PF1|*|PF2|=2b^2,
|PF1|(2a-|PF1|)=2b^2,
|PF1|^2-2a|PF1|+2b^2=0,
要使方程有意义,则△=4a^2-8b^2>=0,
a^2>=2b^2,
∴a≥√2b,
以原点为圆心,以c为半径作圆,若a>√2b,则有4个交点,有4个这样的三角形,每个象限一个顶点。
当b=c时,椭圆与圆相切,在短轴两个端点,共有2个交点,此时就有两个这样的三角形。
东莞大凡
2024-11-19 广告
板格标定棋盘是我们东莞市大凡光学科技有限公司在精密光学测量领域的重要工具。它采用高精度设计,确保每一个格板都达到严格的校准标准。通过使用板格标定棋盘,我们能够有效地对光学测量系统进行校准,从而提升测量的准确性和可靠性。这一工具在光学仪器的研... 点击进入详情页
本回答由东莞大凡提供
X_Q_T
2010-10-28 · TA获得超过1.2万个赞
知道大有可为答主
回答量:1363
采纳率:100%
帮助的人:707万
展开全部
本题并不难,但是有点繁,试解如下:
设点P(x,y)符合要求,则
x²/a²+y²/b²=1
因对称性,不妨设y>0,x>=0
解出y得
y=(b/a)√(a²-x²)
点 F1(-√(a²-b²),0),F2(√(a²-b²),0)
因此
PF1的斜率 k1=[(b/a)√(a²-x²)]/[x+√(a²-b²)]
PF2的斜率 k2=[(b/a)√(a²-x²)]/[x-√(a²-b²)]
由垂直条件
k1·k2=-1
∴ (b²/a²)(a²-x²)/[x²-(a²-b²)]=-1
从该式中解出 x² 得
x²=[a²(a²-2b²)]/(a²-b²) (*)
∵ a²>0,a²-b²>0
可见(*)有实数解的充要条件是: a²-2b²>=0
或者 a²/b²>=√2
当 a²/b²=√2 时有两个解,分别是短轴的两个端点,
当 a²/b²>√2 时有四个解,分别位于四个象限。
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
zqs626290
2010-10-28 · TA获得超过3.1万个赞
知道大有可为答主
回答量:1.6万
采纳率:66%
帮助的人:5822万
展开全部
解:可设点P(acost,bsint).F1(-c,0),F2(c,0).由F1P⊥F2P,可得向量F1P·向量F2P=0.===>(acost+c,bsint)·(acost-c,bsint)=0.===>a²cos²t-c²+b²sin²t=0.===>sin²t=b²/c²≤1.===>b²≤a²-b².===>a≥(√2)b.(1)当sint=±1时,cost=0.此时点P有2个,(2)当sint≠±1时数形结合可知,符合题设的三角形有4个。
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
mygoodtrip
2010-10-28
知道答主
回答量:22
采纳率:0%
帮助的人:17.9万
展开全部
要么不存在,要么二个,要么存在存在四个。
思考方法:如果存在,则必须满足(F1F2)^2=(PF1)^2+(PF2)^2,根据焦半径公式知,(2c)^2=(a-ex)^2+(a+ex)^2 (x为P点的横坐标)化简得:x^2=2a^2-(a^4/c^2)
因此,右边小于即(解出ab的关系),则不存在;右边等于零即a^2=2b^2,存在一个x,两个点;右边大于0即(解出ab的关系),存在二个x,四个点;
我就不解了,方法如此,自己去算
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
收起 更多回答(2)
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式