Question

初等数论题目

证明n个连续整数乘积一定被n!整除

Answer 1

比如说m>n，要证明，m!/(n!(m-n)!)是整数，
也就是，对于任何一个质数p，p在m!中的重数
（就是出现的次数，比如说p^r整除a，但是p^(r+1)不整除a，那么p在a中出现的重数就是r，记作p(a)，也就是p(a)=r）
比p在n!(m-n)!中出现的重数大，或者相等。
即要证明p(m!)>=p(n!(m-n)!)=p(n!)+p((m-n)!)。
现在不难证明（请自己证明）p(n!)=[n/p]+[n/(p^2)]+[n/(p^3)]+…，其中[x]表示不超过x的最大整数。这个式子的右边，对于固定的n和p来讲，是有限项的和：当p^r>n的时候，[n/(p^r)]=0；所以这个式子中只有有限项是正的，其余都是0。
那么
p(m!)-p(n!)-p((m-n)!)
=[m/p] + [m/(p^2)] + [m/(p^3)]+…
-([n/p] + [n/(p^2)] + [n/(p^3)]+…)
-([(m-n)/p] + [(m-n)/(p^2)] + [(m-n)/(p^3)] + …)
=([m/p]-[n/p]-[(m-n)/p]) + ([m/(p^r)]-[n/(p^2)]-[(m-n)/(p^2)]) + …，
而[m/(p^r)]-[n/(p^r)]-[(m-n)/(p^r)]总是不小于0的（容易证明，如果a和b都不小于0，那么[a+b]-[a]-[b]>=0），所以
p(m!)-p(n!)-p((m-n)!)>=0，
那么任何一个质数p在m!中出现的重数多不少于在n!(m-n)!中出现的重数。所以m!/(n!(m-n)!)是整数，也就是说连续n个自然数的乘积m!/(m-n)!可以被n!整除。

Answer 2

n个连续整数都是正数时，由组合数必为整数，而从m(m≥n)个元素中取n个元素的组合数=m*(m-1)..（m-n+1）/n!,即证明n个连续整数乘积一定被n!整除；
n个连续整数其中有一个是0时，结论显然成立；
n个连续整数都是负数时，提取n个-1,得到n个连续整数都是正数，由前面的结论成立，推得此时结论也是成立的。