几何体(初二
如图,点O是等边三角形内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得三角形ADC,连接OD。(1)试说明三角形COD是等边三角形(2)...
如图,点O是等边三角形内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得三角形ADC,连接OD。
(1)试说明三角形COD是等边三角形
(2)当α等于150°时,试判断三角形AOD的形状,说明理由
(3)探究:当α为多少度时,△AOD为等腰三角形? 展开
(1)试说明三角形COD是等边三角形
(2)当α等于150°时,试判断三角形AOD的形状,说明理由
(3)探究:当α为多少度时,△AOD为等腰三角形? 展开
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(1)因为:将将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得三角形ADC
所以:△BOC全等于△ADC
可以得出CO=CD
又因为∠BCO+∠ACO=60°
∠BCO=∠ACD
所以∠ACO+∠ACD=60°
两边相等夹角为60度 所以三角形COD为等边三角形
(2)根据第一题所证,三角形COD为等边三角形
所以:角CDO为60度
三角形BOC与三角形ADC为全等三角形,得出角ADC=角BOC=α=150度
角ADO=角ACD-角CDO=150-60=90度
所以三角形AOD为直角三角形
(3)如果AOD为等腰三角形,则角AOD=角ADO
可以得出 α-60=360-110-α-60
α=125°
所以:△BOC全等于△ADC
可以得出CO=CD
又因为∠BCO+∠ACO=60°
∠BCO=∠ACD
所以∠ACO+∠ACD=60°
两边相等夹角为60度 所以三角形COD为等边三角形
(2)根据第一题所证,三角形COD为等边三角形
所以:角CDO为60度
三角形BOC与三角形ADC为全等三角形,得出角ADC=角BOC=α=150度
角ADO=角ACD-角CDO=150-60=90度
所以三角形AOD为直角三角形
(3)如果AOD为等腰三角形,则角AOD=角ADO
可以得出 α-60=360-110-α-60
α=125°
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解:(1)∵△BOC≌△ADC,
∴OC=DC.--(1分)
∵∠OCD=60°,
∴△OCD是等边三角形.--(1分)
(2)△AOD是Rt△.--(1分)
理由如下:
∵△OCD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∵△BOC≌△ADC,∠α=150°,
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,
∴△AOD是Rt△.--(2分)
(3)∵△OCD是等边三角形,
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°,
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°-α=α-60°,
∴α=125°.--(2分)
②当∠AOD=∠OAD时,190°-α=50°,
∴α=140°.--(2分)
③当∠ADO=∠OAD时,
α-60°=50°,
∴α=110°.--(2分)
综上所述:当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.--(1分)
∴OC=DC.--(1分)
∵∠OCD=60°,
∴△OCD是等边三角形.--(1分)
(2)△AOD是Rt△.--(1分)
理由如下:
∵△OCD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∵△BOC≌△ADC,∠α=150°,
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,
∴△AOD是Rt△.--(2分)
(3)∵△OCD是等边三角形,
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°,
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°-α=α-60°,
∴α=125°.--(2分)
②当∠AOD=∠OAD时,190°-α=50°,
∴α=140°.--(2分)
③当∠ADO=∠OAD时,
α-60°=50°,
∴α=110°.--(2分)
综上所述:当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.--(1分)
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(1)根据题意是转60度,所以角0CD=60度,OC=OD,所以三个角都是60度,是等边三角形
(2)因为α是150度,所以角ADC=150度,因为三角形OCD是等边三角形,所以角CDO=60度,角COD=60度,角AOC=360-110-150=100度,所以角ADO=90度,角AOD=40度,是直角三角形
(3)根据第二题关系,角ADO=α-60度,角AOD=360-110-α-60度,所以两个角相等时α=125度,因为角OAD=50度,所以 α=110度也可以
(2)因为α是150度,所以角ADC=150度,因为三角形OCD是等边三角形,所以角CDO=60度,角COD=60度,角AOC=360-110-150=100度,所以角ADO=90度,角AOD=40度,是直角三角形
(3)根据第二题关系,角ADO=α-60度,角AOD=360-110-α-60度,所以两个角相等时α=125度,因为角OAD=50度,所以 α=110度也可以
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