Question

已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+b)/[2^(x+1)+a]是奇函数.

求证是减函数 详细过程 谢谢
f(x) = (-2^x+1)/[2^(x+1)+2]= -1/2 + 1/(2^x + 1) 这个怎么得到啊？

Answer 1

证明：
因为是奇函数，所以 f(-x)=-f(x)
即 [-2^(-x)+b ]/[2^(-x+1)+a] = -(-2^x+b)/[2^(x+1)+a]
化简 (2b - a)2^(-x) + (2b-a)2^x + (2ab-4) = 0,对任何x恒成立
所以 2b- a =0,2ab - 4=0
解得 a=2,b=1 或 a = -2,b=-1
但是 ，如果 a = -2,则定义域不是R，而是 x不等于0，排除。
所以 f(x) = (-2^x+1)/[2^(x+1)+2]
= (-2^x+1)/2[2^x + 1]
= (-2^x - 1 + 2)/2[2^x + 1]
= -1/2 + 1/(2^x + 1)
设 x1 < x2
则 f(x2) - f(x1) = 1/(2^x2 + 1) - 1/(2^x1 + 1)
= (2^x1 - 2^x2)/[(2^x2 + 1)(2^x1 + 1)]
< 0
所以 f(x2) < f(x1)
所以 f(x)是减函数