Question

一道二次函数小题 已知抛物线y=-x^2+2x。过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4做垂线，垂足为M。请问:

已知抛物线y=-x^2+2x。过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4做垂线，垂足为M。请问:对于抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立，若存在请求出t的值。

Answer 1

答案是肯定的。具体解法如下：设P（x，y），则PM=5/4-y. PN=根号括号里面的(（x-1）^2 +(y-t)^2).又PN=PM成立，则有（5/4-y）^2=（x-1）^2 +(y-t)^2成立（左右平方了的）。两边打开括号：25/16+y^2-5/2y=x^2-2x+1+y^2+t^2-2yt.消去y^2,再把y=-x^2+2x代入把y消掉，可以得到：25/16=-3/2x^2+2tx^2+3x-4tx+1+t^2由于要恒成立，因此肯定存在x的部分要全部小区（因为x为变量），所以 -3/2x^2+2tx^2=0 3x-4tx=0 1+t^2=25/16 三式的所解t值要全部同时相等才算成立，解得t=3/4

Answer 2

此题主要是考查了抛物线的定义（抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等）及图象平移，我试将我的想法拿出来供你参考，选择题和填空题这方法就很管用。
解析：
抛物线y=-x^2+2x=y=-（x-1）^2+1，他是由抛物线y=-x^2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的。因为抛物线y=-x^2的焦点是（0 ，-1/4），准线是y=1/4 ，y=-x^2上任意一点P到焦点（0 ，-1/4）的距离等于点P到准线y=1/4的距离；图象平移后得到y=-x^2+2x的焦点是（1，3/4），准线是y=5/4，因此抛物线上任意一点p到焦点是（1，3/4）的距离等于点P到准线y=5/4的距离，即PM=PN恒成立，所以t=3/4
你看这样行吗？呵呵，^0^