Question

求解一道高中圆锥曲线数学题（求详解）谢谢

已知在平面直角坐标系xOy中有一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-√3,0)，且右顶点为D（2，0），设点A的坐标是（1,1/2).
求（1）该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求ΔABC面积的最大值

Answer 1

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Answer 2

（1）解：由题得a=2,c=√3
∴b^2=1
∵椭圆焦点在X轴
∴椭圆标准方程为x^2/4+y^2=1
(2)解：设M(x0,y0），由中点坐标公式得P（2x0-1,2y0-1/2）
P在椭圆上，则有(2x0-1)^2/4+(2y0-1/2)^2=1
则M点轨迹方程为(2x-1)^2/4+(2y-1/2)^2=1

(3)解：当直线斜率不存在时，S=（1/2）*2*1=1
当直线斜率存在时，设直线方程为kx-y=0
A到直线距离为h=|k-1/2|/√(k^2+1)
联立椭圆方程与直线方程得
X1=2/√(1+4k^2) X2=-2/√(1+4k^2)
有两点距离公式得d=4*√【（k^2+1)/4k^2+1)]
S=(1/2)*d*h
=√[(4k^2-4k+1)/(4k^2+1)]
=√[1-4/(4k+1/k)]
当k≥0时，S≥0
当k＜0时，S≤√2 （当k=-1/2时“=”成立）
∴Smax=√2