Question

已知f(x)是二次函数，且f(0)=0，f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)的函数关系式

Answer 1

二次函数
=>
f(x)=ax^2+bx+c

f(0)=0
=>
c=0
=>
f(x)=ax^2+bx

f(x+1)=f(x)+x+1
=>
ax^2+2ax+a+bx+b=ax^2+bx+x+1
2ax+a+b=x+1
(2a-1)x+a+b-1=0
上式对任意x恒成立，故有
2a-1=0
a+b-1=0
=>
a=1/2
b=1/2
=>
f(x)=x^2/2 + x/2

Answer 2

解：设f(x)=ax^2+bx+c
因为f(0)=0
所以c=0
因为f(x+1)=f(x)+x+1
所以f(1)=a+b=2
f(2)=4a+2b=5
联立求解，得：
a=1/2
b=3/2
所以f(x)=0.5x^2+1.5x