已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]

(1)若f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围;(2)若f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围.... (1)若f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围.
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clvcmv
2010-10-31 · TA获得超过6315个赞
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(1)∵对对数函数来说,真数>0才有意义
∴(a²-1)x²+(a+1)x+1>0恒成立时,x才可以取任意实数;
当a²-1=0时,即a=-1时,不等式等价1大于0恒成立;
a=1时,-2x+1>0不恒成立;
∴a=-1满足题意;
当a²≠1时,(a²-1)x²+(a+1)x+1>0恒成立;
需要a²-1>0(函数图象开口向上)
解:a>1或a<-1
同时判别式△=(a+1)²-4(a²-1)<0(与x轴无交点)
解:a>5/3或a<-1
综上:a>5/3或a≤-1
(2)值域为全体实数,那么根据对数函数的图象可以知道:
真数(a²-1)x²+(a+1)x+1可以取>0的任意实数才满足条件。
当a²-1=0;
a=1时,真数为:2x+1,是可以取到任意大于0的实数,所以满足题意;
a=-1时,真数为:1,只能取1,不满足题意;
当a²-1≠0时;如果要取到大于零的所有实数,那么需要
a²-1>0(函数开口方向往上),a>1或a<-1
判别式
△=(a+1)²-4(a²-1)≥0(只有函数图象与x轴有交点,才可能取大于零的所有实数)
解:-1≤a≤5/3
综上:1≤a≤5/3
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酷冬
推荐于2016-12-02 · TA获得超过1628个赞
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(1)
f(x)的定义域为(-∞,+∞),即无论x取何值,(a^2-1)x^2+(a+1)x+1 的值要恒大于0
令此二次函数开口向上,Δ<0 即可
a^2-1 >0
Δ= (a+1)^2- 4(a^2-1)<0
(a=-1亦满足要求)
两式上式,解得:a≤-1 或 a>5/3

(2)
f(x)的值域为(-∞,+∞),即(a^2-1)x^2+(a+1)x+1 的值要从0至+∞都能取到
令此二次函数开口向上,Δ≥0即可
a^2-1 ≥0 (等号也可以)
Δ= (a+1)^2- 4(a^2-1)≥0
两式联立,解得:1≤a≤5/3
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