Question

设抛物线y^2=2px（p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上，且BC平行于x轴

求证：直线AC经过原点

Answer 1

证明：讨论：1，当斜率k不存在时，直线为x=p/2.与抛物线交于A(p/2,p)和B(p/2,-p).准线方程为：x=-p/2。则点C(-p/2,-p).显然直线AC过原点。（因为A与C关于原点对称。）
2，斜率存在时，设直线方程为：y=k(x-p/2),与抛物线交点分别为A(x1,y1)B(x2,y2).则点C(-p/2,y2).其中 x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 .
直线OC的斜率为k1=y2/(-p/2)=-2y2/p；直线AO的斜率为k2=y1/x1.
简单代换一下，就得k1=k2.所以A,O,C三点共线。即直线AC过原点。