Question

设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A.B两点，连结B与原点O的直线交抛物线的准线与点

C。 证明：直线AC平行于x轴。

Answer 1

F(p/2, 0), 准线x = -p/2
设过点F的直线为 y - 0 = k(x - p/2)
y = k(x - p/2)
代入y² = 2px
k²x² - p(k² + 2)x + k²p²/4 = 0
∆ = p²(k² + 2)² - 4k²*k²p²/4 = 4p²(k² + 1)
x₁ = [p(k² + 2) + √∆]/(2k²), y₁ = k(x₁ -p/2) = (2p + √∆)/(2k), 此为点A的坐标(B也行，不影响结果)
x₂ = [p(k² + 2) + √∆]/(2k²), y₂ = k(x₂ -p/2) = (2p - √∆)/(2k), 此为点B的坐标
BO的斜率m=y₂/x₂
BO的方程: y = y₂x/x₂
令x = -p/2, y = -y₂p/(2x₂)
= -[(2p - √∆)/(2k)]/{[p(k² + 2) + √∆]/(k²)}
= (2p + √∆)/(2k) (自己慢慢化简)
连结B与原点O的直线与准线的交点C的纵坐标和A的纵坐标相等, 即AC平行于x轴

追问

真的要这么复杂才可以证明出来么。。。

追答

有更简单的办法, 当时没有仔细考虑.
设B(b²/(2p), b)
OB的方程: y = bx/[b²/(2p)] = 2px/b
x = -p/2, y = -p²/b
C(-p/2, -p²/b)

AFB的方程: (y - 0)/(b- 0) = (x - p/2)/[b²/(2p) - p/2]
2px = [(b² - p²)y + bp²]/b
代入y² = 2px:
y² = [(b² - p²)y + bp²]/b
by² - (b² - p²)y - bp² = 0
显然y - b是其一个因式: (y - b)(by + p²) = 0
A的纵坐标y = -p²/b, 与C的纵坐标相等, 即AC平行于x轴