Question

高一函数问题.......................................

已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时，f(x)＜0恒成立：
求证：（1）函数y=f(x)是R上的减函数； （2）函数y=f(x)是奇函数。

Answer 1

证明：（1）
用定义法证函数y=f(x)是R上的减函数
设x1<x2,则x2-x1>0
因为当x>0时，f(x)＜0恒成立
所以f(x2-x1)<0
因为对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)
所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1)
所以函数y=f(x)是R上的减函数

（2）令a=b=0得f(0+0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
令a=x,b=-x得f(x-x)=f(x)+f(-x)
所以f(x)+f(-x)=f(0)=0
即f(-x)=-f(x)
所以函数y=f(x)是奇函数

Answer 2

（1）因为f2=f1+f1，且1大于0,f1小于0,f2小于0且f2=2f1，f2小于f1。
（2）不会