Question

函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是R上的奇函数,在x=1时取得极小值-2/3

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-2/3
1）求函数f（x）的解析式
2）对任意X1，X2∈[-1,1]证明|f（x1）-f（x2）|≤4/3注意是-2/3。
不要复制百度的答案，那个是错的

Answer 1

（1）奇函数 说明f(0)=0,得到d=0.b=0.
f'(x)=3ax^2+2bx+c,f'(1)=0,得到3a+2b+c=0
极小值是-2/3,得到f(1)=-2/3.即：a+b+c+d=-2/3.
带入算得：a=1/3,c=-1
f(x)=x^3/3-x
(2)很明显，只要证明在[-1,1]上的最大致与最小值的差满足，那么其他的都成立！
f'(x)=x^2-1 在【-1，1】上时单减的。所以当f(-1)时有最大值，f(1)是最小值。
所以有：|f(x1)-f(x2)|<=|f(-1)-f(1)|=|2/3+2/3|=4/3