Question

高二数学题 高手进

两道题
一：
椭圆x²／a² +y²／b²=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相较于两点p Q。且op⊥OQ（o为原点）
（1）求证：1／a² +1／b²为定值
（2）若离心率e∈[√3／3，√2／2]，求椭圆长轴的取值范围
二：
已知正整数列an的前n项和为Sn，且a1³+a2³+a3³+......+an³=Sn²
（1）求证：an²=2Sn-an；
（2）求数列an的通项公式
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Answer 1

(1)解:(1)
联立
x+y=1
x^2/a^2+y^2/b^2=1
得
（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2(1-b^2)=0
韦达定理,得

X1+X2=2a^2/(a^2+b^2)
X1X2=a^2(1-b^2)/a^2+b^2

向量OP⊥向量OQ
∴X1X2+Y1Y2=0
2a^2b^2=a^2+b^2

1/a^2+1/b^2=a^2+b^2/a^2b^2=2 ..........(1)

(2)
√3/3≤e≤√2/2

1/3≤e^2=1-b^2/a^2≤1/2

2/3≥b^2/a^2≥1/2

1) b^2/a^2=1/2 时
代入（1）
得a=√6/2

2) b^2/a^2=2/3 时

代入（1）
得a=√5/2

椭圆长轴的取值范围 [√5,√6]

(2)Sn/n=（a1+an)/2=2a1+(n-1)*d
因为a1 d为常数
所以是线性问题
所以pn在同一直线上