Question

在△ABC中,AD是中线,O为AD的中点,直线l过O点,过A、B、C三点分别作直线l的垂线,垂足分别为G、E、F.

在△ABC中，AD是中线，O为AD的中点，直线a过点O，过A、B、C三点分别作直线l的垂线，垂足分别为G、E、F
（1）当直线l绕点O旋转到与AD垂直时（如图1），证明：BE+CF=2AG。
（2）当直线l绕点O旋转到与AD不垂直时（如图2）线段BE、CF、AG又有怎样的数量关系？请给予证明
（3）当直线l绕点O旋转到与AD不垂直时（如图3）线段BE、CF、AG又有怎样的数量关系？请给予证明
三问都要证明！！好的一问加10分，三题有图再加30分（我们目前只学了三角形、平行线、全等，所以希望除此之外的知识不要出现）

Answer 1

证明:取EF中点H,连结GH ∵EH=HF.BD=DC ∴HD‖CF,HD=1/2(BE+CF) ∴∠FHD=90° 在△HDO和△GAO中 ∠DHO=∠AGO ∠HOD=∠GOA OD=OA ∴△HDO≌△GAO ∴AG=HD ∵HD=1/2(BE+CF) ∴AG=1/2(BE+CF) 即BE+CF=2AG

追问

可以给个图吗，不过EF、G、H好像在一条线上，怎么连啊，你说的是D点吗？还有，我们没学中位线

Answer 2

Answer 3

1 因为 o是ad的中点 所以 ag=gd=od 又 be垂直a cf垂直a ad垂直a 所以在梯形befc中 od为中位线 所以 ag=od=二分之一的（eb+fc）即 2ag=be+cf
2 过d做a的垂线，垂足为h 则 有三角形aog相似doh 又 ao=do 易得 两三角形全等 dh=ag 是梯形befc的中位线 然后和第一问一样了 结论也是一样的 2ag=be+cf
3 暂时想不出来。。。

追问

我们还没学中位线...

追答

..........好吧 你可以换成相似三角形 一样的