Question

设函数f(x)=x^3+ax^2+x+1，①x=1, 函数f(x)取得极值，求函数f(x)的图像在

设函数f(x)=x^3+ax^2+x+1，①x=1, 函数f(x)取得极值，求函数f(x)的图像在x=1处的切线方程②若函数 f(x)在区间（1/2，1）内不单调，求实数a的取值范围。 求具体过程

Answer 1

解（1）由题知f'(1)=0
又由f'(x)=3x^2+2ax+1
故f'(1)=3+2a+1=0
解得a=-2
故f(x)=x^3-2x^2+x+1
故f（1）=1-2+1+1=1
故切点为（0，1），且切线的斜率k=0
故函数f(x)的图像在x=1处的切线方程y=1
（2）由f'(x)=3x^2+2ax+1
又由函数 f(x)在区间（1/2，1）内不单调，
则f'(x)=3x^2+2ax+1=0必有解，且有两解时这两解不能相等，
则若只有一解时f'(1/2)f'(1)＜0.............................①
若有两个不相等的解时f'(1/2)＞0且f'(1)＞0且f'（-a/3)＜0..............②
由①解得-2＜a＜-7/4
由②解得-7/4＜a＜-√3或a＞√3
故a的范围是-2＜a＜-7/4或-7/4＜a＜-√3或a＞√3。