Question

设P是一个数集,且至少含有两个数,若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,a/b ∈P(b≠0),

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对于任意a,b∈R都有a+b,a-b,ab,a/b ∈P(b≠0),则称P是一个数域。例如，有理数Q是一个数域，数集F={a+b√2|a,b∈Q}也是数域。给出下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q含于M，则数集M也为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。其中正确的命题有__________(填序号）。
提都没看懂

Answer 1

题目中“a,b∈R”，R应是P.

①1,2∈Z，1/2不属于Z，此为反例，不填；
②令M=Q∪{π}，1,π∈M，1+π不属于M，此为反例，不填；
③令数域P，a,b∈P，由互异性a,b不会同时为0，不妨设a≠0，则
a+b,a-b∈P
(a+b)+(a-b)=2a∈P
2a/a=2∈P
a/a=1∈P
1-1=0∈P （数域必含元素0，1得证）
2+1=3∈P
3+1=4∈P
…………
因此，数域必为无限集，填。

（对于你说的{0,1}，1+1=2不属于{0,1}，所以{0,1}不是数域。）

④显然{F|F={a+b√p|a,b∈Q},p是质数}是无限集，且是数域集的子集，因此存在无穷多个数域，填。
令a,b,c,d∈Q，p是质数，则a+b√p,c+d√p∈F
a+c,b+d∈Q => (a+b√p)+(c+d√p)=a+c+(b+d)√p∈F
a-c,b-d∈Q => (a+b√p)-(c+d√p)=a-c+(b-d)√p∈F
ac+bdq,ad+bc∈Q => (a+b√p)(c+d√p)=ac+bdq+(ad+bc)√p∈F
(ac-bdq)/(c²-d²p),(bc-ad)/(c²-d²p)∈Q
=> (a+b√p)/(c+d√p)=(a+b√p)(c-d√p)/(c+d√p)(c-d√p)=[ac-bdq+(bc-ad)√p]/(c²-d²p)
=(ac-bdq)/(c²-d²p)+[(bc-ad)/(c²-d²p)]√p∈F
综合上述，p是质数时，F是数域，质数有无数个，因此F有无数个，因此数域有无数个。

Answer 2

1 3 4
正确