Question

关于2014年全国一卷文科数学的一道导数题

设函数fx=alnx+(1-a/2)x2-bx （a不得1，）曲线y=fx在点（1，f(1))处的切线斜率为0

（1）求b;

（2）若存在x0>1,使得fx0<a/a-1，求a的取值范围。

第一问b=1 第二问中，答案给到 当a<1/2时 则a/1-a<1 故当x属于（1，正无穷)时f'(x)>0,fx单增 所以存在x0>1 使得fx0的充要条件是f1<a/a-1
我的问题是，要想让fx0在给定范围上 <a/a-1

,不是应该让fx的最大值小于a/a-1吗，而此时fx是单增函数，f1应该是最小的数啊，用f1<a/a-1,不能保证所有fx都小于a/a-1吧 我错在哪里了呢

Answer 1

本题中的量词不是全称量词而是存在量词，

如果题目是对任意的x0>1,使得f(x0)<a/(a-1); 你的想法就对了；
本题的意思是;只要能找到一个x0>1，使得f(x0)<a/(a-1)
用最小值去和它比较而不是用最大值；

追问

哦，就是说，不一定所有的x值都要满足 谢谢您！还有个问题，答案把f'(x)从f'x=a/x+(1-a)x-1转化成了f'x=(1-a)/x乘(x-a/(1-a)）乘(x-1) 我知道这样是为了取a的范围，可是怎么想到这一步呢？