Question

图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合

图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h 1 ，h 2 ，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形。 （1）求蝶形面积S的最大值；（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h 1 与h 2 满足的关系式，并求h 2 的取值范围。

Answer 1

解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形， 由EF∥BD，得△ABD∽△AEF， ∴ ，即 ， ∴S=2 ， 所以当 时， ； （2）根据题意，得OE=OM， 如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS， 1）当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM， ∵ ，∴OR= ， ∴BR= ， 由ML∥EK∥OB，得 ， ∴ ，即 ， ∴ ，此时h 1 的取值范围为 且 ， 2）当点E，M重合时，则h 1 =h 2 ，此时h 1 的取值范围为 。